Le $ou$ exclusif

Par définition, l'opérateur $ou$ est inclusif, c'est-à-dire $a \; ou \; b$ renvoie 1 :

• lorsque $a$ vaut 1,
• lorsque $b$ vaut 1,
• lorsque les deux valent 1.

Il existe aussi le « $ou$ exclusif », c'est-à-dire un « ou » qui ne renvoie pas 1 lorsque les deux entrées sont égales à 1.

Pour distinguer le « $ou$ exclusif » du « $ou$ inclusif », on peut noter le « $ou$ exclusif » sous la forme $oux$. Il est toutefois plus usuel d'utiliser le nom anglais $xor$ (eXclusif OR).

La fonction $xor()$

La fonction $xor()$ est une fonction de $\mathbb{B}\times\mathbb{B}$ dans $\mathbb{B}$ définie par:

• $xor(0 ; 0) = 0$
• $xor(0 ; 1) = 1$
• $xor(1 ; 0) = 1$
• $xor(1 ; 1) = 0$

En d'autres termes, l'image est égale à 1 si et seulement si les deux entrées sont différentes.

L'opérateur $xor$

On utilise généralement $xor$ comme un opérateur. Ainsi, au lieu d'écrire $xor(a ; b)$, on utilise plutôt l'écriture $a \; xor \; b$ qui est plus naturelle.

La table de vérité de l'opérateur $xor$ est donc :

a	b	a xor b
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Remarque

En python, la fonction $xor()$ n'est pas définie. Si vous en avez besoin, il faut la programmer au préalable à l'aide des opérateurs usuels...

Compléments

1. On peut résumer l'opérateur $xor$ par la proposition suivante :
   « Les cas qui donnent 0 sont les cas $a = b$. »

2. Ou bien par la proposition suivante :
   « Les cas qui donnent 1 sont les cas $a \neq b$. »

3. En interprétant 0 et 1 comme des entiers naturels, on peut également retenir la table du $xor$ sous la forme :

   • $a \; xor \; b = (a \; ou \; b) - (a \; et \; b)$.
   • ou $a \; xor \; b = \max(a ; b) - \min(a ; b)$.
   • ou $a \; xor \; b = (a + b) \% 2$.