Notation scientifique

En base 10, l'écriture scientifique d'un nombre réel $x$ est de la forme $a \times 10^n$ où :

• $a$ est un réel de l'intervalle $\left[1; 10\right[$
• $n$ un entier relatif ($a$ et $n$ étant écrits en base 10).

$a$ est appelé la mantisse et $n$ est appelé l'exposant.

Remarques

1. Dans l'écriture scientifique d'un réel, il n'y a qu'un seul chiffre à gauche de la virgule, et ce chiffre est non nul donc 0 ne peut pas être représenté ainsi.
2. En acceptant des mantisses avec un nombre infini de chiffres, tout réel (sauf 0) peut être représenté par une écriture scientifique.
3. S'il s'agit d'écrire vraiment la mantisse alors cette mantisse ne peut plus être infinie.
   Dans ce cas, on est limité aux décimaux.
4. Si on ajoute comme contrainte de ne pas dépasser un certain nombre de chiffres pour écrire la mantisse (et l'exposant), on se retrouve avec un nombre très limité de décimaux représentés...
   C'est ce qu'il se passe en machine pour le codage des réels par les flottants.
   En bref, il faut représenter l'ensemble infini des réels par un ensemble fini de nombres...

Exemple

Écrire en notation scientifique (base 10) le nombre réel $3 000 000 000$.
Identifier la mantisse et l'exposant de cette écriture scientifique.

Une solution

On a $3 000 000 000 = 3 \times 10^9$.
La mantisse est $3$.
L'exposant est $9$.

Un convertisseur

Vous pouvez vous entraîner en traitant d'autres exemples à l'aide de ce convertisseur de notation décimale vers notation scientifique.

Écriture scientifique en base 2

En base 2, l'écriture scientifique d'un nombre réel $x$ est de la forme $a \times 2^n$ où :

• $a$ est un réel de l'intervalle $\left[1; 2\right[$
• $n$ un entier relatif ($a$ et $n$ étant écrits en base 2).

$a$ est appelé la mantisse et $n$ est appelé l'exposant.

Remarques

1. A nouveau, tout nombre non nul admet une écriture scientifique binaire (en acceptant des mantisses avec un nombre infini de bits).
2. Puisque la mantisse $a$ a exactement un bit non nul avant la virgule, cette mantisse est nécessairement de la forme $1,...$ (puisqu'en base 2, le seul chiffre non nul est $1$).

Exemple

Écrire en notation scientifique (base 2) le nombre réel $(1 000 000 000)_2$.
Identifier la mantisse et l'exposant de cette écriture scientifique.

Une solution

En décimal, on a $(1 000 000 000)_2 = (2^9)_{10}$.
La notation scientifique en base deux est $(1 \times 10^{1001})_2$.
La mantisse est $(1)_2$.
L'exposant est $(1001)_2$.