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Opérateurs usuels

La fonction non()

La fonction non() est une fonction de \mathbb{B} dans \mathbb{B} définie par :

  • non(0) = 1
  • non(1) = 0

On présente généralement une fonction booléenne sous la forme d'une table de vérité :

a non(a)
0 1
1 0

Remarques

  1. Au lieu d'écrire non(a), on pourra parfois écrire: non \; a.
  2. En python, la fonction non() est représentée par l'opérateur not ... et elle s'applique sur un booléen.
Compléments

Il est fréquent de noter non(a) sous la forme \overline{a}.

On peut également retenir la table du non grâce à la définition algébrique : non(a) = 1-a
En d'autres termes, l'image est le complément à 1 de l'antécédent.

La fonction et()

La fonction et() est une fonction de \mathbb{B}\times\mathbb{B} dans \mathbb{B} définie par:

  • et(0 ; 0) = 0
  • et(0 ; 1) = 0
  • et(1 ; 0) = 0
  • et(1 ; 1) = 1

En d'autres termes, l'image est égale à 1 si et seulement si les deux entrées sont égales à 1.

On utilise généralement et comme un opérateur. Ainsi, au lieu d'écrire et(a ; b), on utilise plutôt l'écriture a \; et \; b qui est plus naturelle.

La table de vérité de l'opérateur et est donc :

a b a et b
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Remarque

En python, la fonction et() est représentée par l'opérateur ... and ... et elle s'applique entre deux booléens.

Compléments
  1. On peut résumer l'opérateur et par la proposition suivante :
    « Le seul cas qui donne 1 est le cas "1 et 1". Tous les autres cas donnent 0. »

  2. En interprétant 0 et 1 comme des entiers naturels, on peut également retenir la table du et sous la forme :

    • a \; et \; b = a \times b
    • ou a \; et \; b = \min(a; b)

La fonction ou()

La fonction ou() est une fonction de \mathbb{B}\times\mathbb{B} dans \mathbb{B} définie par:

  • ou(0 ; 0) = 0
  • ou(0 ; 1) = 1
  • ou(1 ; 0) = 1
  • ou(1 ; 1) = 1

En d'autres termes, l'image est égale à 1 si au moins une des entrées est égale à 1.

On utilise généralement ou comme un opérateur. Ainsi, au lieu d'écrire ou(a ; b), on utilise plutôt l'écriture a \; ou \; b qui est plus naturelle.

La table de vérité de l'opérateur ou est donc :

a b a ou b
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

Remarque

En python, la fonction ou() est représentée par l'opérateur ... or ... et elle s'applique entre deux booléens.

Compléments
  1. On peut résumer l'opérateur ou par la proposition suivante :
    « Le seul cas qui donne 0 est le cas "0 ou 0". Tous les autres cas donnent 1. »

  2. En interprétant 0 et 1 comme des entiers naturels, on peut également retenir la table du ou sous la forme :

    • a \; ou \; b = a + b - a \times b. On peut faire l'analogie avec les probabilités : p(A \; ou \; B) = p(A) + p(B) - p(A \; et \; B)
    • ou a \; ou \; b = \max(a; b)